函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.(Ⅲ)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是

题目简介

函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.(Ⅲ)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是

题目详情

函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
(Ⅲ)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:浙江

答案

(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),
x0+x
2
=0
y0+y
2
=0
x0=-x
y0=-y.

∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上
∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0
当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解.
当x<1时,2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤class="stub"1
2

因此,原不等式的解集为[-1,class="stub"1
2
]

(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
①当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1
②当λ≠-1时,对称轴的方程为x=class="stub"1-λ
1+λ

ⅰ)当λ<-1时,class="stub"1-λ
1+λ
≤-1
,解得λ<-1.
ⅱ)当λ>-1时,class="stub"1-λ
1+λ
≥-1
,解得-1<λ≤0.综上,λ≤0.

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