（1）求证：函数f(x)=x+3x+1在区间（-1，+∞）上是单调减函数；（2）写出函数f(x)=x+1x+3的单调区间；（3）讨论函数f(x)=x+ax+2在区间（-2，+∞）上的单调性．-数学

题目简介

（1）求证：函数f(x)=

x+3

x+1

在区间（-1，+∞）上是单调减函数；
（2）写出函数f(x)=

x+1

x+3

的单调区间；
（3）讨论函数f(x)=

x+a

x+2

在区间（-2，+∞）上的单调性．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）证明：任取x1＞x2＞-1，则f（x1）-f（x2）=

x1+3

x1+1

x2+3

x2+1

(x1+3)(x2+1)-(x2+3)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵x1＞x2＞-1，∴x1+1＞0，x2+1＞0；x2-x1＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f(x)=class="stub"x+3

x+1

在区间（-1，+∞）上是单调减函数．
（2）f(x)=class="stub"x+1

x+3

=1-class="stub"2

x+3

，
∴函数的定义域是（-∞，-3）∪（-3，+∞），
则函数的单调增区间（-∞，-3），（-3，+∞）．
（3）f(x)=class="stub"x+a

x+2

=1+class="stub"a-2

x+2

，
当a＞2时，此函数在区间（-2，+∞）上单调递减，
当a=2时，无单调性；当a＜2时，此函数在区间（-2，+∞）上单调递增．