做一个无盖的圆柱形水桶,若要使体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为______.-数学

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做一个无盖的圆柱形水桶,若要使体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为______.-数学

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做一个无盖的圆柱形水桶,若要使体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

设圆柱的高为h,半径为r
则由圆柱的体积公式可得,πr2h=27π
h=class="stub"27
r2

S全面积=πr2+2πrh=πr2+2πr•class="stub"27
r2
=πr2+class="stub"54π
r

(法一)令S=f(r),(r>0)
f(r)=2πr-class="stub"54π
r2
=
2π(r3-27)
r3

令f′(r)≥0可得r≥3,令f′(r)<0可得0<r<3
∴f(r)在(0,3)单调递减,在[3,+∞)单调递增,则f(r)在r=3时取得最小值
(法二):S全面积=πr2+2πrh=πr2+2πr•class="stub"27
r2
=πr2+class="stub"54π
r

=πr2+class="stub"27π
r
+class="stub"27π
r
≥3
3πr2•class="stub"27π
r
•class="stub"27π
r
=27π
当且仅当πr2=class="stub"27π
r
即r=3时取等号
当半径为3时,S最小即用料最省
故答案为:3

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