已知R上的不间断函数g(x)满足:①当x>0时,g′(x)>0恒成立;②对任意的x∈R都有g(x)=g(-x).又函数f(x)满足:对任意的x∈R,都有f(3+x)=-f(x)成立,当x∈[0,3]时

题目简介

已知R上的不间断函数g(x)满足:①当x>0时,g′(x)>0恒成立;②对任意的x∈R都有g(x)=g(-x).又函数f(x)满足:对任意的x∈R,都有f(3+x)=-f(x)成立,当x∈[0,3]时

题目详情

已知R上的不间断函数g(x)满足:①当x>0时,g′(x)>0恒成立;②对任意的x∈R都有g(x)=g(-x).又函数f(x)满足:对任意的x∈R,都有f(
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+x)=-f(x)
成立,当x∈[0,
3
]
时,f(x)=x3-3x.若关于x的不等式g[f(x)]≤g(a2-a+2)对x∈[-3,3]恒成立,则a的取值范围(  )
A.a≤0或a≥1B.0≤a≤1C.-1≤a≤1D.a∈R
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

因为函数g(x)满足:当x>0时,g'(x)>0恒成立,
且对任意x∈R都有g(x)=g(-x),
则函数g(x)为R上的偶函数且在[0,+∞)上为单调递增函数,
且有g|(x|)=g(x),
所以g[f(x)]≤g(a2-a+2)在R上恒成立,
∴|f(x)|≤|a2-a+2|对x∈∈[-class="stub"3
2
-2
3
class="stub"3
2
-2
3
]恒成立,
只要使得定义域内|f(x)|max≤|a2-a+2|min,
由于当x∈[-
3
3
]时,f(x)=x3-3x,
求导得:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
该函数过点(-
3
,0),(0,0),(
3
,0),
且函数在x=-1处取得极大值f(-1)=2,
在x=1处取得极小值f(1)=-2,
又由于对任意的x∈R都有f( 
3
+x)=-f(x),
∴f(2
3
+x)=-f(
3
+x)=f(x)成立,则函数f(x)为周期函数且周期为T=2
3

所以函数f(x)在x∈[-class="stub"3
2
-2
3
class="stub"3
2
-2
3
]的最大值为2,所以令2≤|a2-a+2|解得:a≥1或a≤0.
故选A

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