当定义在R上的函数f(x)满足(x-1)f'(x)<0(x≠1),且y=f(x+1)为偶函数,当|x1-1|<|x2-1|时,有()A.f(x1)>f(x2)B.f(x1)≥f(x2)C.f

题目简介

当定义在R上的函数f(x)满足(x-1)f'(x)<0(x≠1),且y=f(x+1)为偶函数,当|x1-1|<|x2-1|时,有()A.f(x1)>f(x2)B.f(x1)≥f(x2)C.f

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当定义在R上的函数f(x)满足(x-1)f'(x)<0(x≠1),且y=f(x+1)为偶函数,当|x1-1|<|x2-1|时,有(  )
A.f(x1)>f(x2B.f(x1)≥f(x2C.f(x1)<f(x2D.f(x1)≤f(x2
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

因为函数y=f(x+1)为偶函数,所以y=f(x+1)=f(-x+1),
即函数y=f(x)关于x=1对称,所以f(2-x1)=f(x1),f(2-x2)=f(x2).
当x>1时,f'(x)<0,此时函数y=f(x)单调递减,当x<1时,f'(x)>0,此时函数y=f(x)单调递增.
①若x1≥1,x2≥1,则由|x1-1|<|x2-1|,得x1-1<x2-1,即1≤x1<x2,所以f(x1)>f(x2).
②同理若x1<1,x2<1,由|x1-1|<|x2-1|,得-(x1-1)<-(x2-1),即x2<x1<1,所以f(x1)>f(x2).
③若x1,x2中一个大于1,一个小于1,不妨设x1<1,x2≥1,则-(x1-1)<x2-1,
可得1<2-x1<x2,所以f(2-x1)>f(x2),即f(x1)>f(x2).
综上有f(x1)>f(x2).
故选A.

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