若不等式x2+2xy≤a(2x2+y2)对于一切正数x、y恒成立,则实数a的最小值为()A.2B.2+12C.32D.1-数学

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若不等式x2+2xy≤a(2x2+y2)对于一切正数x、y恒成立,则实数a的最小值为()A.2B.2+12C.32D.1-数学

题目详情

若不等式x2+2xy≤a(2x2+y2)对于一切正数x、y恒成立,则实数a的最小值为(  )
A.2B.
2
+1
2
C.
3
2
D.1
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

由题意可得:不等式x2+2xy≤a(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2a-1)x2-2xy+ay2≥0对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2a-1)(class="stub"x
y
)2-2•class="stub"x
y
+a≥0对于一切正数x,y恒成立,
令t=class="stub"x
y
,则有t>0,所以(2a-1)t2-2t+a≥0对于一切t∈(0,+∞)恒成立,
a≥
t2+2t
2t2+1
对于一切t∈(0,+∞)恒成立,
令f(t)=
t2+2t
2t2+1
,则f′(t)=
-2(t-1)(2t+1)
(2t2+1)2

∴t∈(0,1)时,f′(t)>0,函数单调递增,t∈(1,+∞)时,f′(t)<0,函数单调递减
∴t=1时,函数取得最大值1
∴a≥1
∴实数a的最小值为1
故选D

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