已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy),且当x<0时,f(x)>0;(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;(2)若f(a+b1

题目简介

已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy),且当x<0时,f(x)>0;(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;(2)若f(a+b1

题目详情

已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
,且当x<0时,f(x)>0;
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(2)若f(
a+b
1+ab
)=1,f(
a-b
1-ab
)=2
,且|a|<1,|b|<1,求f(a),f(b)的值.
(3)若f(-
1
2
)=1
,试解关于x的方程f(x)=-
1
2
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)令x=y=0,
∴f(0)=0,令y=-x,有f(-x)+f(x)=f(0)=0,
∴f(x)为奇函数
(2)∵f(class="stub"a+b
1+ab
)=1,f(class="stub"a-b
1-ab
)=2

f(a)+f(b)=1
f(a)-f(b)=2

解得f(a)=class="stub"3
2
,f(b)=-class="stub"1
2

(3)任间区间(-1,1)上两个数x1,x2,且x1<x2,
则x1-x2<0,1-x1•x2>0
x1-x2
1-x1•x2
<0
即f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=F(
x1-x2
1-x1•x2
)>0,
∴f(x)在(-1,1)上是减函数
f(-class="stub"1
2
)=1∴f(class="stub"1
2
)=-1

原方程即为2f(x)=-1⇔f(x)+f(x)=f(class="stub"2x
1+x2
)=f(class="stub"1
2
)

class="stub"2x
1+x2
=class="stub"1
2
x2-4x+1=0⇔x=2±
3

又∵x∈(-1,1)∴x=2-
3

故原方程的解为x=2-
3

更多内容推荐