首页 > 已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f（x）＞0；（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）若f(a+b1

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f（x）＞0；（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）若f(a+b1

题目简介

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f（x）＞0；（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）若f(a+b1

题目详情

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）若f(
a+b
1+ab
)=1，f(
a-b
1-ab
)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若f(-
1
2
)=1，试解关于x的方程f(x)=-
1
2
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令x=y=0，
∴f（0）=0，令y=-x，有f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（x）为奇函数
（2）∵f(class="stub"a+b
1+ab
)=1，f(class="stub"a-b
1-ab
)=2，
即
f(a)+f(b)=1
f(a)-f(b)=2
，
解得f(a)=class="stub"3
2
，f(b)=-class="stub"1
2
．
（3）任间区间（-1，1）上两个数x1，x2，且x1＜x2，
则x1-x2＜0，1-x1•x2＞0
∴
x1-x2
1-x1•x2
＜0
即f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=F（
x1-x2
1-x1•x2
）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∵f(-class="stub"1
2
)=1∴f(class="stub"1
2
)=-1
原方程即为2f(x)=-1⇔f(x)+f(x)=f(class="stub"2x
1+x2
)=f(class="stub"1
2
)，
∴class="stub"2x
1+x2
=class="stub"1
2
⇔x2-4x+1=0⇔x=2±
3

又∵x∈(-1，1)∴x=2-
3

故原方程的解为x=2-
3
．

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