首页 > 已知函数f(x)=ln(12+12ax)+x2-ax．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若x=12是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在[12，+∞)上是增函数；（Ⅲ）若

已知函数f(x)=ln(12+12ax)+x2-ax．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若x=12是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在[12，+∞)上是增函数；（Ⅲ）若

题目简介

已知函数f(x)=ln(12+12ax)+x2-ax．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若x=12是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在[12，+∞)上是增函数；（Ⅲ）若

题目详情

已知函数f(x)=ln(
1
2
+
1
2
ax)+x2-ax．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若x=
1
2
是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在[
1
2
，+∞)上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 x0∈[
1
2
，1]，使不等式f（x0）＞m（1-a2）成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：湖北模拟

答案

由题得：f′(x)=
class="stub"1
2
a
class="stub"1
2
+class="stub"1
2
ax
+2x-a=
2ax(x-
a2-2
2a
)
1+ax
．
（Ⅰ）由已知，得f′(class="stub"1
2
)=0且
a2-2
2a
≠0，∴a2-a-2=0，∵a＞0，∴a=2．（2分）
（Ⅱ）当0＜a≤2时，∵
a2-2
2a
-class="stub"1
2
=
a2-a-2
2a
=
(a-2)(a+1)
2a
≤0，∴class="stub"1
2
≥
a2-2
2a
，
∴当x≥class="stub"1
2
时，x-
a2-2
2a
≥0．又class="stub"2ax
1+ax
＞0，
∴f'（x）≥0，故f（x）在[class="stub"1
2
，+∞)上是增函数．（5分）
（Ⅲ）a∈（1，2）时，由（Ⅱ）知，f（x）在[class="stub"1
2
，1]上的最大值为f(1)=ln(class="stub"1
2
+class="stub"1
2
a)+1-a，
于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln(class="stub"1
2
+class="stub"1
2
a)+1-a+m(a2-1)＞0恒成立．
记g(a)=ln(class="stub"1
2
+class="stub"1
2
a)+1-a+m(a2-1)，（1＜a＜2）
则g′(a)=class="stub"1
1+a
-1+2ma=class="stub"a
1+a
[2ma-(1-2m)]，
当m=0时，g′(a)=class="stub"-a
1+a
＜0，∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）＜g（1）=0，
由于a2-1＞0，∴m≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，
故必有m＞0，∴g′(a)=class="stub"2ma
1+a
[a-(class="stub"1
2m
-1)]．
若class="stub"1
2m
-1＞1，可知g（a）在区间(1，min{2，class="stub"1
2m
-1})上递减，在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，故class="stub"1
2m
-1≤1，
这时，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，
∴
m＞0
class="stub"1
2m
-1≤1
，即m≥class="stub"1
4
，
所以，实数m的取值范围为[class="stub"1
4
，+∞)．（14分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网