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已知数列{an}的各项均为正值，a1=1，对任意n∈N*，an+12-1=4an（an+1），bn=log2（an+1）都成立．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）令cn=an•bn，求数

题目简介

已知数列{an}的各项均为正值，a1=1，对任意n∈N*，an+12-1=4an（an+1），bn=log2（an+1）都成立．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）令cn=an•bn，求数

题目详情

已知数列{an}的各项均为正值，a1=1，对任意n∈N*，an+12-1=4an（an+1），bn=log2（an+1）都成立．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）当k＞7且k∈N*时，证明对任意n∈N*，都有
1
bn
+
1
bn+1
+
1
bn+2
+…+
1
bnk-1
＞
3
2
成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由n∈N*，
a2n+1
-1=4an(an+1)，得（an+1+2an+1）（an+1-2an-1）=0
∵数列{an}的各项均为正值，an+1+2an+1＞0，∴an+1=2an+1，整理为an+1+1=2（an+1）
又a1+1=2≠0∴数列{an+1}为等比数列，
∴an+1=(a1+1)•2n-1=2n∴数列{an}的通项公式an=2n-1，
数列{bn}的通项公式bn=log2(2n-1+1)=n．
（2）由（1）cn=an•bn=n•（2n-1）
所以Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n-（1+2+3+…+n）
令Tn′=1•21+2•22+3•23+…+n•2n①
则2Tn′=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1②
①-②得-Tn′=1•21+22+23+24+…++2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1=（1-n）2n+1-2
（3）法1：设S=class="stub"1
bn
+class="stub"1
bn+1
+class="stub"1
bn+2
+…+class="stub"1
bnk-1
=class="stub"1
n
+class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+…+class="stub"1
nk-1

∴2S=(class="stub"1
n
+class="stub"1
nk-1
)+(class="stub"1
n+1
+class="stub"1
nk-2
)+(class="stub"1
n+2
+class="stub"1
nk-3
)+…+(class="stub"1
nk-1
+class="stub"1
n
)
当x＞0，y＞0时，x+y≥2
xy
，class="stub"1
x
+class="stub"1
y
≥2
class="stub"1
xy
，
∴(x+y)(class="stub"1
x
+class="stub"1
y
)≥4∴class="stub"1
x
+class="stub"1
y
≥class="stub"4
x+y
当且仅当x=y时等号成立．
∴上述（1）式中，k＞7，n＞0，n+1，n+2，…，nk-1全为正，
∴2S＞class="stub"4
n+nk-1
+class="stub"4
n+1+nk-2
+class="stub"4
n+2+nk-3
+…+class="stub"4
nk-1+n
=
4n(k-1)
n+nk-1

∴S＞
2(k-1)
1+k-class="stub"1
n
＞
2(k-1)
k+1
=2(1-class="stub"2
k+1
)＞2(1-class="stub"2
7+1
)=class="stub"3
2

法2∵k≥8，S≥class="stub"1
n
+class="stub"1
n+1
+…+class="stub"1
8n-1

=class="stub"1
n
+…+class="stub"1
2n-1
+class="stub"1
2n
+…+class="stub"1
3n-1
+class="stub"1
3n
+…+class="stub"1
4n-1
+…+class="stub"1
8n-1
＞class="stub"1
2n-1
+…+class="stub"1
2n-1
+class="stub"1
3n-1
+…+class="stub"1
3n-1
+class="stub"1
4n-1
+…+class="stub"1
4n-1
+…+class="stub"1
8n-1
+…+class="stub"1
8n-1

=class="stub"n
2n-1
+class="stub"n
3n-1
+class="stub"n
4n-1
+…+class="stub"n
8n-1
＞class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+class="stub"1
5
+class="stub"1
6
+class="stub"1
7
+class="stub"1
8

=1+class="stub"1
4
+class="stub"1
5
+class="stub"1
7
+class="stub"1
8
=1+class="stub"83
140
+class="stub"1
8
＞1+class="stub"1
2
=class="stub"3
2

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