已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2(n∈N*).(1)求{an}的通项公式;(2)令bn=1anan=1,Tn是数列{bn}的前n项和,试证明Tn<12.-数学

题目简介

已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2(n∈N*).(1)求{an}的通项公式;(2)令bn=1anan=1,Tn是数列{bn}的前n项和,试证明Tn<12.-数学

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已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2(n∈N*).
(1)求{an}的通项公式;
(2)令bn=
1
anan=1
,Tn是数列{bn}的前n项和,试证明Tn
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2
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当n=1时,S1=12=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
又n=1时,a1=2-1=1,满足通项公式,
∴此数列为等差数列,其通项公式为an=2n-1,
(2)证明:bn=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)<class="stub"1
2

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