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> 设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*)．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：1a1a2+1a2a3+…+1an-1an＜14．-数学
设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*)．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：1a1a2+1a2a3+…+1an-1an＜14．-数学
题目简介
设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*)．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：1a1a2+1a2a3+…+1an-1an＜14．-数学
题目详情
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
1
=1，
S
n
=n
a
n
-2n(n-1)(n∈
N
*
)
．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）证明：
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+…+
1
a
n-1
a
n
＜
1
4
．
题型：解答题
难度：中档
来源：不详
答案
（Ⅰ）依题意
S
n
=n
a
n
-2n(n-1)(n∈
N
*
)
S
n-1
=(n-1)
a
n-1
-2(n-1)(n-2)(n≥2，n∈
N
*
)
两式相减得
a
n
=
S
n
-
S
n-1
=n
a
n
-(n-1)
a
n-1
-4n+4，(n≥2，n∈
N
*
)
所以（1-n）an=-（n-1）an-1-4（n-1）
因为n≥2，n∈N*，所以1-n≠0，
两边同除以（1-n）可得，
a
n
=
a
n-1
+4⇒
a
n
-
a
n-1
=4，(n≥2，n∈
N
*
)
所以{an}是以a1=1为首项，公差为4的等差数列
所以an=a1+（n-1）d=4n-3
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
class="stub"1
a
n-1
•
a
n
=
class="stub"1
(4n-7)(4n-3)
=
class="stub"1
4
(
class="stub"1
4n-7
-
class="stub"1
4n-3
)
所以
class="stub"1
a
1
a
2
+
class="stub"1
a
2
a
3
+…+
class="stub"1
a
n-1
a
n
=
class="stub"1
4
(1-
class="stub"1
5
+
class="stub"1
5
-
class="stub"1
9
+
class="stub"1
9
-
class="stub"1
13
+…+
class="stub"1
4n-7
-
class="stub"1
4n-3
)
=
class="stub"1
4
(1-
class="stub"1
4n-3
)＜
class="stub"1
4
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题目简介
设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*)．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：1a1a2+1a2a3+…+1an-1an＜14．-数学
题目详情
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：
答案
Sn-1=(n-1)an-1-2(n-1)(n-2)(n≥2，n∈N*)
两式相减得an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4n+4，(n≥2，n∈N*)
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所以{an}是以a1=1为首项，公差为4的等差数列
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（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
所以
=