首页 > 已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞1，②∀x、y∈R，f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足①a1=1，②f（an+1）=f（an）f（1），（n∈N*），Tn=-a

已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞1，②∀x、y∈R，f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足①a1=1，②f（an+1）=f（an）f（1），（n∈N*），Tn=-a

题目简介

已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞1，②∀x、y∈R，f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足①a1=1，②f（an+1）=f（an）f（1），（n∈N*），Tn=-a

题目详情

已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞1，②∀x、y∈R，f（x+y）=f（x） f（y）．数列{an}满足①a1=1，②f（an+1）=f（an） f（1），（n∈N*），Tn=-a12+a22-a32+…+（-1）n
a2n
，则T100等于（　　）
A．4900B．-4900C．5050D．-5050
题型：单选题难度：中档来源：漳州模拟

答案

对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为x＞0时，有0＜f（x）＜1，故f（1）＞0
所以 f（0）=1
再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）•f（y）=1
所以f（-y）=class="stub"1
f(y)
，同理以f（-x）=class="stub"1
f(x)

当x＜0时，-x＞0，根据已知条件得f（-x）＞1，即class="stub"1
f(x)
＞1，
变形得0＜f（x）＜1．
综上所述任意x∈R，f（x）＞0．
设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2-x1）=f（x2）f（-x1）=
f(x2)
f(x1)
＞1，f（x2）＞f（x1）
所以函数f（x）在R上是单调递增函数．
f（an+1）=f（an） f（1）=f（an+1），所以an+1=an+1，数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为an=n．
T100=(-12+22)+(-32+42) +…(-992+1002)=3+7+…+199=
(3+199)×50
2
=5050．
故选C．

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