首页 > 已知f(n)=log2(1+1n)(n∈N+)，对正整数k，如果f（n）满足：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（k+1）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，129]内所有“好数”的和S=___

已知f(n)=log2(1+1n)(n∈N+)，对正整数k，如果f（n）满足：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（k+1）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，129]内所有“好数”的和S=___

题目简介

已知f(n)=log2(1+1n)(n∈N+)，对正整数k，如果f（n）满足：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（k+1）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，129]内所有“好数”的和S=___

题目详情

已知f(n)=log2(1+
1
n
)(n∈N+)，对正整数k，如果f（n）满足：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（k+1）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，129]内所有“好数”的和S=______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

∵f(n)=log2(1+class="stub"1
n
)(n∈N+)，
∴f（1）=log22=1，
f（1）+f（2）+f（3）=log2(class="stub"2
1
×class="stub"3
2
×class="stub"4
3
)=log24=2，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）
=log2(class="stub"2
1
×class="stub"3
2
×class="stub"4
3
×class="stub"5
4
×class="stub"6
5
×class="stub"7
6
×class="stub"8
7
)=log28=3．
…
由题设知k=2n-2，
由2n-1≤129，解得1≤n≤7，
∴[1，129]内所有“好数”的和
S=（2-2）+（22-2）+（23-2）+…+（27-2）
=
2(1-27)
1-2
-14=240．
故答案为：240．

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