记数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1．已知数列{bn}满足bn-2=3log3an．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和

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记数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1．已知数列{b_n}满足b_n-2=3log₃a_n．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由an+1=2Sn+1，得an=2Sn-1+1，（n≥2）
两式相减，得an+1-an=2an，an+1=3an，（n≥2）
又a2=2S1+1，∴a2=3a1．
所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴an=3n-1．…（4分）
又∵bn=3log3an+2=3log33n-1+2=3（n-1）+2=3n-1．
∴bn=3n-1..…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得cn=（3n-1）×3n-1..…（8分）
∴Tn=2×1+5×31+8×32+…+（3n-4）×3n-2+（3n-1）×3n-1，…（9分）
3Tn=2×3+5×32+8×33+…+（3n-4）×3n-1+（3n-1）×3n，
两式相减，得：-2Tn=2+3×3+3×32+…+3×3n-1-（3n-1）×3n=-class="stub"1

-class="stub"6n-5

×3n，
∴Tn=class="stub"1

+class="stub"6n-5

•3n…（13分）
应改为：-2Tn=2+3×3+3×32+…+3×3n-1-（3n-1）×3n=-class="stub"5

-class="stub"6n-5

×3n，
∴Tn=class="stub"5

+class="stub"6n-5

•3n…（13分）

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记数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1．已知数列{bn}满足bn-2=3log3an．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和

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