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已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=12-12an（I）求数列{an}的通项公式；（II）设f（x）=log3x，bn=f（a1）+f（a2）+L+f（an），Tn=1b1+1b

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=12-12an（I）求数列{an}的通项公式；（II）设f（x）=log3x，bn=f（a1）+f（a2）+L+f（an），Tn=1b1+1b

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=
1
2
-
1
2
an
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设f（x）=log3x，bn=f（a1）+f（a2）+L+f（an），Tn=
1
b1
+
1
b2
+L+
1
bn
，求T2012
（III）若cn=an•f（an），求{cn}的前n项和an．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）n=1时，a1=S1=class="stub"1
2
-class="stub"1
2
a1，∴a1=class="stub"1
3
                            （1分）
n≥2时，an=Sn-Sn-1=class="stub"1
2
-class="stub"1
2
an-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
an-1，∴an=class="stub"1
3
an-1，
即数列{an}是首项为class="stub"1
3
，公比为class="stub"1
3
的等比数列                 （3分）
故an=(class="stub"1
3
)n                                           （4分）
（II）由已知可得：f（an）=-n，则bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an）=-1-2-…-n=-
n(n+1)
2
（5分）
∴class="stub"1
bn
=-2(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
）                                （6分）
∴Tn=class="stub"1
b1
+class="stub"1
b2
+…+class="stub"1
bn
=2[（1-class="stub"1
2
）+（class="stub"1
2
-class="stub"1
3
）+…+（class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
）]=-2（1-class="stub"1
n+1
）
∴T2012=-class="stub"4024
2013
      （8分）
（III）由题意：cn=an•f（an）=-n×(class="stub"1
3
)n，故{cn}的前n项和un=-[1×(class="stub"1
3
)1+2×(class="stub"1
3
)2+…+n×(class="stub"1
3
)n]①
∴class="stub"1
3
un=-[1×(class="stub"1
3
)2+2×(class="stub"1
3
)3+…+n×(class="stub"1
3
)n+1]②
①-②可得：class="stub"2
3
un=-[(class="stub"1
3
)1+(class="stub"1
3
)2+(class="stub"1
3
)3+…+(class="stub"1
3
)n-n×(class="stub"1
3
)n+1]（12分）
∴class="stub"2
3
un=-class="stub"1
2
[1-(class="stub"1
3
)n]+n×(class="stub"1
3
)n+1
∴un=-class="stub"3
4
+class="stub"3
4
×(class="stub"1
3
)n+class="stub"3
2
n×(class="stub"1
3
)n+1                      （14分）

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