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> 已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,nan=Sn+2n(n-1)(n∈N*).(I)求数列an的通项公式;(II)设Tn=a1+122+a2+123+…+an+12n+1,求Tn的值.-数学
已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,nan=Sn+2n(n-1)(n∈N*).(I)求数列an的通项公式;(II)设Tn=a1+122+a2+123+…+an+12n+1,求Tn的值.-数学
题目简介
已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,nan=Sn+2n(n-1)(n∈N*).(I)求数列an的通项公式;(II)设Tn=a1+122+a2+123+…+an+12n+1,求Tn的值.-数学
题目详情
已知数列a
n
的前n项和为S
n
,a
1
=1,na
n
=S
n
+2n(n-1)(n∈N
*
).
(I)求数列a
n
的通项公式;
(II)设
T
n
=
a
1
+1
2
2
+
a
2
+1
2
3
+…+
a
n
+1
2
n+1
,求T
n
的值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(I)因为Sn=nan-2(n-1)n,
所以当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-1-2(n-2)(n-1).an=Sn-Sn-1=nan-2(n-1)n-(n-1)an-1+2(n-2)(n-1),(2分)
即an-an-1=4(4分)
所以数列an是首项a1=1,公差d=4的等差数列,且an=1+(n-1)4=4n-3(n∈N*).(6分)
(II)因为
a
n
+1
2
n+1
=
class="stub"4n-3+1
2
n+1
=
class="stub"2n-1
2
n
,
所以
T
n
=
a
1
+1
2
2
+
a
2
+1
2
3
+…+
a
n
+1
2
n+1
=
class="stub"1
2
+
class="stub"3
2
2
+
class="stub"5
2
3
++
class="stub"2n-1
2
n
.①(8分)
class="stub"1
2
T
n
=
class="stub"1
2
2
+
class="stub"3
2
3
+
class="stub"5
2
4
+…+
class="stub"2n-3
2
n
+
class="stub"2n-1
2
n+1
.②..(10分)
①-②得
class="stub"1
2
T
n
=
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
2
++
class="stub"1
2
n-1
-
class="stub"2n-1
2
n+1
=
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
[1-
(
class="stub"1
2
)
n-1
]
1-
class="stub"1
2
-
class="stub"2n-1
2
n+1
=
class="stub"3
2
-
class="stub"1
2
n-1
-
class="stub"2n-1
2
n+1
=
class="stub"3
2
-
class="stub"2n+3
2
n+1
.
所以
T
n
=3-
class="stub"2n+3
2
n
(12分)
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若数列{an}的项构成的新数列{a
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