已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an-1(n≥1,n∈N)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2nanan+1,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn<13.-数学

题目简介

已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an-1(n≥1,n∈N)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2nanan+1,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn<13.-数学

题目详情

已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an-1(n≥1,n∈N)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
2n
anan+1
,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn
1
3
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由an+1=2an-1,得an+1-1=2(an-1),
又a1-1=2,所以{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列
an-1=2n,即an=2n+1
(2)证明:bn=
2n
anan+1
=
2n
(2n+1)(2n+1+1)
=class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
2n+1+1

Sn=(class="stub"1
21+1
-class="stub"1
22+1
)+(class="stub"1
22+1
-class="stub"1
23+1
)+…+(class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
2n+1+1
)
=class="stub"1
3
-class="stub"1
2n+1+1

class="stub"1
2n+1+1
>0

Sn<class="stub"1
3

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