已知数列{an}中,a1=a,a2=t(常数t>0),Sn是其前n项和,且Sn=n(an-a1)2.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)试确定数列{an}是否是等差数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理由;(Ⅲ

题目简介

已知数列{an}中,a1=a,a2=t(常数t>0),Sn是其前n项和,且Sn=n(an-a1)2.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)试确定数列{an}是否是等差数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理由;(Ⅲ

题目详情

已知数列{an}中,a1=a,a2=t(常数t>0),Sn是其前n项和,且Sn=
n(an-a1)
2

(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)试确定数列{an}是否是等差数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理由;
(Ⅲ)令bn=
Sn+2
Sn+1
+
Sn+1
Sn+2
,求证:2n<b1+b2+…+bn<2n+3.(n∈N*).
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)令Sn=
n(an-a1)
2
中n=1,即得a=0…(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:Sn=
n(an-a1)
2
=
nan
2
,即有2Sn=nan,
又有2Sn-1=(n-1)an-1(n≥2)
两式相减得:2an=nan-(n-1)an-1(n≥2),
即(n-2)an=(n-1)an-1(n≥2),…(5分)
于是(n-3)an-1=(n-2)an-2,(n-4)an-2=(n-3)an-3,…,a3=2a2(n≥3),
以上n-4个等式相乘得:an=(n-1)a2=(n-1)t(n≥3),…(8分)
经验证a1,a2也适合此式,所以数列{an}是等差数列,其通项公式为an=(n-1)t.…(9分)
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可得Sn=
n(n-1)t
2
,从而可得bn=class="stub"n+2
n
+class="stub"n
n+2
=2+2(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)
>2,
故b1+b2+…+bn>2n;                                    …(11分)
b1+b2+…+bn=2n+2[(1-
class="stub"1
3
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
4
)…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)
]=2n+2(1+class="stub"1
2
-class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
)<2n+3
综上有,2n<b1+b2+…+bn<2n+3.(n∈N*)…(13分)

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