若数列{an}的项构成的新数列{an+1-Kan}是公比为l的等比数列,则相应的数列{an+1-1an}是公比为k的等比数列,运用此性质,可以较为简洁的求出一类递推数列的通项公式,并简称此-数学

题目简介

若数列{an}的项构成的新数列{an+1-Kan}是公比为l的等比数列,则相应的数列{an+1-1an}是公比为k的等比数列,运用此性质,可以较为简洁的求出一类递推数列的通项公式,并简称此-数学

题目详情

若数列{an}的项构成的新数列{an+1-Kan}是公比为l的等比数列,则相应的数列{an+1-1an}是公比为k的等比数列,运用此性质,可以较为简洁的求出一类递推数列的通项公式,并简称此法为双等比数列法.已知数列{an}中,a1=
3
5
a2=
31
100
,且an+1=
1
10
an+
1
2n+1

(1)试利用双等比数列法求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)有条件知:an+1-class="stub"1
10
an=class="stub"1
2n+1
,①
所以{an+1-class="stub"1
10
an}
是公比为class="stub"1
2
的等比数列,
{an+1-class="stub"1
2
an}
是以首项为a2-class="stub"1
2
a1=class="stub"1
100
,公比为class="stub"1
10
的等比数列,
所以:an+1-class="stub"1
2
an=(class="stub"1
10
)n+1
,②
由①、②得an=class="stub"5
2
(class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
10n+1
)

(2)Sn=a1+a2+…+an
class="stub"5
2
(class="stub"1
4
class="stub"1
102
)
+class="stub"5
2
(class="stub"1
23
-class="stub"1
103
)
+…+ class="stub"5
2
(class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
10n+1
)

=class="stub"5
2
[(class="stub"1
4
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n+1
)-(class="stub"1
102
+class="stub"1
103
+…+class="stub"1
10n+1
)]

=class="stub"11
9
+class="stub"1
36
•class="stub"1
10n
-class="stub"5
4
•class="stub"1
2n

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