已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=an(an+1)2(n∈N*)(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=12Sn,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.-数学

题目简介

已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=an(an+1)2(n∈N*)(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=12Sn,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.-数学

题目详情

已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=
an(an+1)
2
(n∈N*)

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
1
2Sn
Tn=b1+b2+…+bn
,求Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵Sn=
an(an+1)
2

2Sn=an2+an,①
2Sn-1=an-12+an-1
   
(a≥2)
,②
由①-②得:2an=an2-an-12+an-an-1,(2分)  
(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
∵an>0,∴an-an-1=1
   
(n≥2)

又∵a1=S1=
a1(a1+1)
2

∴a1=1,∴an=a1+(n-1)d=n
   
(n≥2)
,(5分)
当n=1时,a1=1,符合题意.
故an=n.(6分)
(Ⅱ)∵Sn=
an(an+1)
2
=
n(n+1)
2

bn=class="stub"1
n(n+1)
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
,(10分)
Tn=1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
=1-class="stub"1
n+1
=class="stub"n
n+1
.(12分)

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