已知数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求S20;(3)设bn=4n(14

题目简介

已知数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求S20;(3)设bn=4n(14

题目详情

已知数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求S20
(3)bn=
4
n(14-an)
Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)
,是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N*,均有Tn
m
9
成立?若存在,求出m,若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵an+2-2an+1+an=0(n∈N*)
∴an+2-an+1=an+1-an
∴{an}为等差数列,
设其公差为d…(1分)
又a1=8,a4=2,∴8+3d=2,∴a1=8,d=-2
∴an=-2n+10         …(3分)
(2)∵an=-2n+10,∴n≤5时,an≥0;n≥6时,an<0…(4分)
∴n≥6时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-…-an=2(a1+…+a5)-(a1+…+an),
所以Sn=n2-9n+40…(7分)
∴S20=260…(8分)
(3)由(1)可得bn=class="stub"4
n(2n+4)
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2

则Tn=b1+b2+…+bn=(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
4
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)=1+class="stub"1
2
-class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
…(10分)
由Tn为关于n的增函数,故(Tn)min=T1=class="stub"2
3

于是欲使Tn>class="stub"m
9
对n∈N*
恒成立,则class="stub"m
9
<class="stub"2
3
,∴m<6
∴存在最大的整数m=5满足题意…(12分)

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