首页 > 设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=nan-n（n-1）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=b13+1+b23×2+1+b33×3+1+…+bn3n+1，求数

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=nan-n（n-1）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=b13+1+b23×2+1+b33×3+1+…+bn3n+1，求数

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=nan-n（n-1）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=b13+1+b23×2+1+b33×3+1+…+bn3n+1，求数

题目详情

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=nan-n（n-1）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=
b1
3+1
+
b2
3×2+1
+
b3
3×3+1
+…+
bn
3n+1
，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）令cn=
anbn
4
（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）n≥2时，Sn=nan-n（n-1），
∴Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2），
两式相减得an=nan-（n-1）an-1-2（n-1），则（n-1）an=（n-1）an-1+2（n-1），
∴an=an-1+2
∴{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴an=2n；
（II）∵an=
b 1
3+1
+
b 2
3×2+1
+
b 3
3×3+1
+…+
bn
3n+1
，
∴an-1=
b 1
3+1
+
b 2
3×2+1
+
b 3
3×3+1
+…+
b n-1
3(n-1)+1
，
∴当n≥2时，有an-an-1=
b n
3n+1
，
由（I）得an-an-1=2，
∴bn=2（3n+1），
而当n=1时，也成立，
∴数列{bn}的通项公式bn=2（3n+1）（n∈N*），
（III）cn=
a nb n
4
=
2n•2(3n+1)
4
=3n2+n，
∴数列{cn}的前n项和Tn=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）
=3×class="stub"1
6
n（n+1）（2n+1）+class="stub"1
2
n（n+1）
=class="stub"1
6
n（n+1）（4n+5）．

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