首页 > 设数列{an}是等比数列，a1=C2m3m-2•Pm-11（m∈N*），公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）求常数m的值；（2）用n、x表示数列{an}的前项和Sn；

设数列{an}是等比数列，a1=C2m3m-2•Pm-11（m∈N*），公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）求常数m的值；（2）用n、x表示数列{an}的前项和Sn；

题目简介

设数列{an}是等比数列，a1=C2m3m-2•Pm-11（m∈N*），公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）求常数m的值；（2）用n、x表示数列{an}的前项和Sn；

题目详情

设数列{an}是等比数列，a1=C2m3m-2•Pm-11（m∈N*），公比q是(x+
1
4x2
)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）求常数m的值；
（2）用n、x表示数列{an}的前项和Sn；
（3）若Tn=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn，用n、x表示Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由排列数、组合数的性质，得到不等式：
2m≥3m-2
m-1≥1
，可得2≤m≤2
∴m=2；
（2）由（1）知m=2，
由 (x+class="stub"1
4x2
)4的展开式中的同项公式知 T2=
C14
x4-1(class="stub"1
4x2
)=x，

∴an=xn-1
∴由等比数列的求和公式得：Sn=
n，x=1
1-xn
1-x
，x≠1
 
（3）当x=1时，Sn=n，
所以：Tn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=0Cn0+1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，
又∵Tn=nCnn+（n-1）Cnn-1+（n-2）Cnn-2+…+Cn1+0Cn0，
∴上两式相加得：2Tn=n（Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn）=n•2n，
∴Tn=n•2n-1，
当x≠1时，Sn=
1-xn
1-x
，
所以有：
 Tn=class="stub"1-x
1-x
Cn1
+
1-x2
1-x
Cn2
+… +
1-x n
1-x
Cnn

 
=class="stub"1
1-x
[(
C1n
+
C2n
+…+
Cnn
)-(x
C1n
+x2
C2n
+…+xn
Cnn
)]

 
=class="stub"1
1-x
[2n-(1+x)n]，

∴Tn=
n•2n-1，x=1
2n-(1+x)n
1-x
，x≠1

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