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定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为na1+a2+…+an．若数列{an}的前n项的“均倒数”为1n+2，（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知bn=tan(t＞0)，数列{bn}的前n项和S

题目简介

定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为na1+a2+…+an．若数列{an}的前n项的“均倒数”为1n+2，（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知bn=tan(t＞0)，数列{bn}的前n项和S

题目详情

定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为
n
a1+a2+…+an
．若数列{an}的前n项的“均倒数”为
1
n+2
，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知bn=tan(t＞0)，数列{bn}的前n项和Sn，求
lim
n→∞
Sn+1
Sn
的值；
（3）已知cn=(
4
5
)n，问数列{an•cn}是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意可得，Sn=a1+a2+…+an=n（n+2）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+2）-（n-1）（n+1）=2n+1
而a1=S1=3适合上式
∴an=2n+1
（2）由（1）可得，bn=tan=t（2n+1）
∴
bn+1
bn
=
t2n+3
t2n+1
=t2且，b1=t3
∴{bn}是以t3为首项，t2为公比的等比数列
当t=1时，Sn=n
lim
n→∞
Sn+1
Sn
=class="stub"n+1
n
=1
当t≠1时，Sn=
t3(1-t2n)
1-t2
，
Sn+1
Sn
=
1-t2n+2
1-t2n

若0＜t＜1，
lim
n→∞
Sn+1
Sn
=
lim
n→∞
1-t2n+2
1-t2n
=1
若t＞1，
lim
n→∞
Sn+1
Sn
=
lim
n→∞
1-t2n+2
1-t2n
lim
n→∞
class="stub"1
t2n
- t2
class="stub"1
t2n
-1
=t2
（3）由（1）可得，an•cn=（(2n+1)•(class="stub"4
5
)n
令D（n）=(2n+1)•(class="stub"4
5
)n，若D（n）最大
则
(2n+1)•(class="stub"4
5
)n≥(2n+3)•(class="stub"4
5
)n+1
(2n+1)•(class="stub"4
5
)n≥(2n-1)•(class="stub"4
5
)n-1

∴
2n+1≥
4(2n+3)
5
4(2n+1)
5
≥2n-1

∴class="stub"7
2
≤n≤class="stub"9
2

∵n∈N*∴n=4，此时D（4）=9• (class="stub"4
5
)4最大

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