设数列{an}满足a1=0且11-an+1-11-an=1.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=1-an+1n,记Sn=nk=1bk,证明:Sn<1.-数学

题目简介

设数列{an}满足a1=0且11-an+1-11-an=1.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=1-an+1n,记Sn=nk=1bk,证明:Sn<1.-数学

题目详情

设数列{an}满足a1=0且
1
1-an+1
-
1
1-an
=1

(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
1-
an+1
n
,记Sn=
n


k=1
bk
,证明:Sn<1.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ){class="stub"1
1-an
}
是公差为1的等差数列,
class="stub"1
1-an
=class="stub"1
1-a1
+(n-1)×1=n

an=class="stub"n-1
n
(n∈N*).
(Ⅱ)bn=
1-
an+1
n
=
1-
class="stub"n
n+1
n
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1

Sn=(class="stub"1
1
-class="stub"1
2
)  +(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
) +…+
(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)
=1-class="stub"1
n+1
<1.

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