已知数列{an}的前n项和Sn=1-an,公差为3的等差数列{bn}满足b2是b1与b6的等比中项.(I)求数列{an},{bn}的通项公式;(II)令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.-

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn=1-an,公差为3的等差数列{bn}满足b2是b1与b6的等比中项.(I)求数列{an},{bn}的通项公式;(II)令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.-

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn=1-an,公差为3的等差数列{bn}满足b2是b1与b6的等比中项.
(I)求数列{an},{bn}的通项公式;
(II)令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)∵数列{an}的前n项和Sn=1-an,∴n≥2时,Sn-1=1-an-1,
∴两式相减可得an=an-1-an,∴
an
an-1
=class="stub"1
2
(n≥2)
∵n=1时,S1=1-a1,∴a1=class="stub"1
2

∴数列{an}是以class="stub"1
2
为首项,class="stub"1
2
为公比的等比数列
∴an=(class="stub"1
2
)n

∵公差为3的等差数列{bn}满足b2是b1与b6的等比中项
∴(b1+3)2=b1•(b1+15)
∴b1=1
∴bn=1+3(n-1)=3n-2
(II)cn=anbn=(3n-2)•(class="stub"1
2
)
n

∴Tn=1•class="stub"1
2
+4•(class="stub"1
2
)
2
+…+(3n-2)•(class="stub"1
2
)
n

class="stub"1
2
Tn=1•(class="stub"1
2
)
2
+4•(class="stub"1
2
)
3
+…+(3n-5)•(class="stub"1
2
)
n
+(3n-2)•(class="stub"1
2
)
n+1

两式相减可得class="stub"1
2
Tn=1•class="stub"1
2
+3•(class="stub"1
2
)
2
+3•(class="stub"1
2
)
3
+…+3•(class="stub"1
2
)
n
-(3n-2)•(class="stub"1
2
)
n+1
=2-(3n+4)•(class="stub"1
2
)
n+1

∴Tn=4-(6n+8)•(class="stub"1
2
)
n+1

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