设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn,n∈N*,b1=2,求数列{bn}的前n项和Tn.-数学

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn,n∈N*,b1=2,求数列{bn}的前n项和Tn.-数学

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设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3,n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式an
(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn,n∈N*,b1=2,求数列{bn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为Sn=4an-3,n∈N*.
所以当n≥2时,Sn-1=4an-1-3
两式相减得an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,
整理得an=class="stub"4
3
an-1,
由Sn=4an-3,令n=1得a1=4a1-3,解得a1=1
因此{an}是首项为1,公比为class="stub"4
3
的等比数列,所以an=(class="stub"4
3
)
n-1

(2)由an=(class="stub"4
3
)
n-1
,bn+1=an+bn,即bn+1-bn=an=(class="stub"4
3
)
n-1

于是当n≥2时,
bn=b1+b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=2+1+class="stub"4
3
+(class="stub"4
3
)
2
+…+(class="stub"4
3
)
n-2

=2+
1-(class="stub"4
3
)
n-1
1-class="stub"4
3

=3×(class="stub"4
3
)
n-1
-1
而b1=2满足n≥2时,满足bn的形式,
所以{bn}的通项公式bn=3×(class="stub"4
3
)
n-1
-1
所以Tn=
3[1-(class="stub"4
3
)
n
]
1-class="stub"4
3
-n=9×(class="stub"4
3
)
n
-n-9

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