首页 > 在直角坐标平面XOY上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），A3（3，a3），…An（n，an），…简记为{An}，若由bn=AnAn+1•j构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，（n=1，2，

在直角坐标平面XOY上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），A3（3，a3），…An（n，an），…简记为{An}，若由bn=AnAn+1•j构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，（n=1，2，

题目简介

在直角坐标平面XOY上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），A3（3，a3），…An（n，an），…简记为{An}，若由bn=AnAn+1•j构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，（n=1，2，

题目详情

在直角坐标平面XOY上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），A3（3，a3），…An（n，an），…简记为{An}，若由bn=
AnAn+1
•
j
构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，（n=1，2，…，n∈N） （其中
j
是与y轴正方向相同的单位向量），则称{An}为“和谐点列”．
（1）试判断：A1（1，1），A2(2，
1
2
)，A3(3，
1
22
)…An(n，
1
2n-1
)…是否为“和谐点列”？并说明理由．
（2）若{An}为“和谐点列”，正整数m，n，p，q满足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求证：aq+am＞an+ap．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵An(n，class="stub"1
2n-1
)，An+1(n+1，class="stub"1
2n
)，
∴
AnAn+1
=(1，-class="stub"1
2n
)，
又∵
j
=(0，1)，∴bn=
AnAn+1
•
j
= -class="stub"1
2n
，
∴bn+1=-class="stub"1
2n+1
，bn=-class="stub"1
2n
，
显然bn+1＞bn，∴{An}为“和谐点列”．
（2）证明：∵An（n，an），An+1（n+1，an+1），
∴
AnAn+1
=(1，an+1-an)．又因为
j
=(0，1)，
∴bn=an+1-an．
∵1≤m，且m+q=n+p．
∴q-p=n-m＞0．
∴aq-qp=aq-qq-1+aq-1-aq-2+…+ap+1-ap=bq-1+bq-2+…+bp．
∵{An}为“和谐点列”∴bn+1＞bn．
∴bq-1+bq-2+…+bm=（q-p）bp．
即aq-ap≥（q-p）bp．
同理可证：an-am=bn-1+bn-2+…+bm≤（n-m）bn-1．
∵bp＞bn-1，n-m=q-p．
∴（q-p）bq＞（n-m）bn-1．
∴aq-ap＞an-am．
∴aq+am＞an+ap．

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