首页 > 在数列{an}中，a1=1，an+1=anc•an+1（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列；（Ⅱ）求c的值；（Ⅲ）设bn=anan+1

在数列{an}中，a1=1，an+1=anc•an+1（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列；（Ⅱ）求c的值；（Ⅲ）设bn=anan+1

题目简介

在数列{an}中，a1=1，an+1=anc•an+1（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列；（Ⅱ）求c的值；（Ⅲ）设bn=anan+1

题目详情

在数列{an}中，a1=1，an+1=
an
c•an+1
（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）设bn=anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）因为a1=1，an+1=
an
c•an+1
，所以an≠0，
则class="stub"1
an+1
-class="stub"1
an
=
c•an+1
an
-class="stub"1
an
=c，又c为常数，
∴数列{class="stub"1
an
}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知class="stub"1
an
=class="stub"1
a1
+(n-1)c=1+(n-1)c，
∵a1=1，∴a2=class="stub"1
1+c
，a5=class="stub"1
1+4c
，
∵a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，所以(class="stub"1
1+c
)2=class="stub"1
1+4c
，
解得c=0或c=2，当c=0时，an=an+1，不满足题意，舍去，
所以c的值为2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知c=2，∴an=class="stub"1
2n-1
，
bn=anan+1=class="stub"1
2n-1
•class="stub"1
2n+1
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)，
所以数列{bn}的前n项和
Sn=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)

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