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数列{an}满足的前n项和Sn=2n-an，n∈N*（1）计算数列{an}的前4项；（2）猜想an的表达式，并证明；（3）求数列{n•an}的前n项和Tn．-数学

题目简介

数列{an}满足的前n项和Sn=2n-an，n∈N*（1）计算数列{an}的前4项；（2）猜想an的表达式，并证明；（3）求数列{n•an}的前n项和Tn．-数学

题目详情

数列{an}满足的前n项和Sn=2n-an，n∈N*
（1）计算数列{an}的前4项；
（2）猜想an的表达式，并证明；
（3）求数列{n•an}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）计算得：a1=1，a2=class="stub"3
2
，a3=class="stub"7
4
，a4=class="stub"15
8
．（3分）
（2）∵sn=2n-an当n≥2时
∴sn-1=2（n-1）-an-1两式相减可得：an=2-an+an-1即：
∵a n=class="stub"1
2
an-1+1⇒a n-2=class="stub"1
2
(an-1-2)
所以，数列{an-2}是首项为a1-2=-1公比为class="stub"1
2
的等比数列
∵a n-2=(-1)•(class="stub"1
2
)n-1⇒a n=2-(class="stub"1
2
)n-1
即an=
2n-1
2n-1
（7分）
当n=1时，a1=1，
∴an=
2n-1
2n-1
，
（3）因为n•an=2n-n•(class="stub"1
2
)n-1
设数列{n•(class="stub"1
2
)n-1}的前n项和为MnMn
=1•(class="stub"1
2
)0+2•(class="stub"1
2
)1+3•(class="stub"1
2
)2+n•(class="stub"1
2
)n-1class="stub"1
2
Mn
=1•(class="stub"1
2
)1+2•(class="stub"1
2
)2+(n-1)•(class="stub"1
2
)n-1+n•(class="stub"1
2
)n
两式相减可得：class="stub"1
2
Mn=(class="stub"1
2
)0+(class="stub"1
2
)1+(class="stub"1
2
)2++(class="stub"1
2
)n-1-n•(class="stub"1
2
)n
=
1-(class="stub"1
2
)n-1
1-class="stub"1
2
-n•(class="stub"1
2
)n=2-(class="stub"1
2
)n-n•(class="stub"1
2
)n
=2-(n+1)•(class="stub"1
2
)nMn
=4-(n+1)•(class="stub"1
2
)n+1（12分）

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