已知数列{an}满足an+1=-an2+2an(n∈N*),且0<a1<1.(1)用数学归纳法证明:0<an<1;(2)若bn=lg(1-an),且a1=910,求无穷数列{1bn}所有项的和.-数学

题目简介

已知数列{an}满足an+1=-an2+2an(n∈N*),且0<a1<1.(1)用数学归纳法证明:0<an<1;(2)若bn=lg(1-an),且a1=910,求无穷数列{1bn}所有项的和.-数学

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已知数列{an}满足an+1=-an2+2an(n∈N*),且0<a1<1.
(1)用数学归纳法证明:0<an<1;
(2)若bn=lg(1-an),且a1=
9
10
,求无穷数列{
1
bn
}
所有项的和.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:①当n=1时,由条件知,成立
②假设n=k成立,即0<ak<1成立,
当n=k+1时,ak+1=-ak2+2ak=-(ak-1)2+1,
∵0<aK<1
∴0<(ak-1)2<1
∴0<-(ak-1)2+1<1
∴0<aK+1<1
这就是说,当=k+1时,0<ak<1也成立.
根据①②知,对任意n∈N*,不等式0<an<1恒成立.

(2)1-an+1=(1-an)2,0<an<1;
lg(1-an+1)=lg(1-an)2,,即lg(1-an+1)=2lg(1-an)
即:bn+1=2bn
∴{bn}是以-1为首项,以2为公比的等比数列.
∴bn=-2n-1,∴class="stub"1
bn
= -class="stub"1
2n-1

无究数列{class="stub"1
bn
}所有项的和为:
class="stub"1
b1
+class="stub"1
b2
+…+class="stub"1
bn
+…
=
lim
n→∞
class="stub"1
b1
+class="stub"1
b2
+…+class="stub"1
bn
)=
lim
n→∞
[(-1)×
1-( class="stub"1
2
n
1-class="stub"1
2
]=-2×
lim
n→∞
1-(class="stub"1
2
) n
)=-2

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