已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+1,数列{bn}满足:bn=2an+1,前n项和为Tn,设Cn=T2n+1-Tn.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)是否存在自然数k,当n≥k时,总有Cn<

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+1,数列{bn}满足:bn=2an+1,前n项和为Tn,设Cn=T2n+1-Tn.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)是否存在自然数k,当n≥k时,总有Cn<

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+1,数列{bn}满足:bn=
2
an+1
,前n项和为Tn,设Cn=T2n+1-Tn.   
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)是否存在自然数k,当n≥k时,总有Cn
16
21
成立,若存在,求自然数k的最小值.若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)a1=2,当n>1时,an=Sn-Sn-1=2n-1
bn=
class="stub"2
3
,(n=1)
class="stub"1
n
,(n>1)

(2)Cn=T2n+1-Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1
Cn+1-Cn=class="stub"1
2n+2
+class="stub"1
2n+3
-class="stub"1
n+1
=class="stub"1
2n+3
-class="stub"1
2n+2
<0

∴数列{Cn}是单调递减数列.
由(2)知:Cn<Cn-1<…<C3<C2<C1
当n=1时,C1=class="stub"1
2
+class="stub"1
3
=class="stub"5
6
>class="stub"16
21

当n=2时,C2=class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+class="stub"1
5
=class="stub"47
60
>class="stub"16
21

当n=3时,C3=class="stub"1
4
+class="stub"1
5
+class="stub"1
6
+class="stub"1
7
=class="stub"319
420
<class="stub"320
420
=class="stub"16
21

当n≥3时,CnC3<class="stub"16
21

故,kmin=3.

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