在数列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N*,)a1=-23(1)求an;(2)设Sn为{an}的前n项和,求Sn的最小值.-数学

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在数列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N*,)a1=-23(1)求an;(2)设Sn为{an}的前n项和,求Sn的最小值.-数学

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在数列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N*,)a1=-23
(1)求an;(2)设Sn为{an}的前n项和,求Sn的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵an+1+an=2n-44①∴an+2+an+1=2(n+1)-44②,②-①得an+2-an=2,
∴数列{an}中,奇数项构成等差数列,偶数项构成等差数列且公差为2.
由已知,a1+a2=2-44=-42,a2=-19
当n是奇数时,an=a1+(class="stub"n+1
2
-1
)×2=n-24.
当n是偶数时,an=a2+( class="stub"n
2
-1
)×2=n-21.
∴an=
n-24      ,n为奇数时
n-21      ,n为偶数时

(2)当n是奇数时,
Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-2+an-1)+an
=2[1+3+…(n-2)]-44×class="stub"n-1
2
+(n-24)
=2×
(n-1)•class="stub"n-1
2
2
-44×class="stub"n-1
2
+(n-24)
=class="stub"1
2
n2-22n-class="stub"3
2
=class="stub"1
2
(n-22)2-class="stub"487
2

当n=21或23时取得最小值-243.
当n是偶数时,
Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)
=2[(1+3+…+(n-1)]-class="stub"n
2
×44
=2×
n•class="stub"n
2
2
-22n
=class="stub"1
2
(n-22)2-242
当n=22时取得最小值-242.
所以当n=21或23时Sn取得最小值-243.

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