数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=12,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2),并求Sn关于n的表达式.-数学

题目简介

数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=12,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2),并求Sn关于n的表达式.-数学

题目详情

数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=
1
2
Sn=n2an-n(n-1)
,n=1,2,…写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2),并求Sn关于n的表达式.
题型:解答题难度:中档来源:安徽

答案

由Sn=n2an-n(n-1)(n≥2),
得:Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1),
所以class="stub"n+1
n
Sn-class="stub"n
n-1
Sn-1=1
,对n≥2成立.
class="stub"n+1
n
Sn-class="stub"n
n-1
Sn-1=1
class="stub"n
n-1
Sn-1-class="stub"n-1
n-2
Sn-2=1
class="stub"3
2
S2-class="stub"2
1
S1=1

相加得:class="stub"n+1
n
Sn-2S1=n-1
,又S1=a1=class="stub"1
2

所以Sn=
n2
n+1

当n=1时,也成立.

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