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> 数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=12,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2),并求Sn关于n的表达式.-数学
数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=12,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2),并求Sn关于n的表达式.-数学
题目简介
数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=12,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2),并求Sn关于n的表达式.-数学
题目详情
数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知
a
1
=
1
2
,
S
n
=
n
2
a
n
-n(n-1)
,n=1,2,…写出S
n
与S
n-1
的递推关系式(n≥2),并求S
n
关于n的表达式.
题型:解答题
难度:中档
来源:安徽
答案
由Sn=n2an-n(n-1)(n≥2),
得:Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1),
所以
class="stub"n+1
n
S
n
-
class="stub"n
n-1
S
n-1
=1
,对n≥2成立.
由
class="stub"n+1
n
S
n
-
class="stub"n
n-1
S
n-1
=1
,
class="stub"n
n-1
S
n-1
-
class="stub"n-1
n-2
S
n-2
=1
,
class="stub"3
2
S
2
-
class="stub"2
1
S
1
=1
,
相加得:
class="stub"n+1
n
S
n
-2
S
1
=n-1
,又
S
1
=
a
1
=
class="stub"1
2
,
所以
S
n
=
n
2
n+1
,
当n=1时,也成立.
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得:Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1),
所以
由
相加得:
所以Sn=
当n=1时,也成立.