有一个翻硬币游戏,开始时硬币正面朝上,然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币:①骰子出现1点时,不翻动硬币;②出现2,3,4,5点时,翻动一下硬币,使另一面朝上;③出现6-数学

题目简介

有一个翻硬币游戏,开始时硬币正面朝上,然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币:①骰子出现1点时,不翻动硬币;②出现2,3,4,5点时,翻动一下硬币,使另一面朝上;③出现6-数学

题目详情

有一个翻硬币游戏,开始时硬币正面朝上,然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币:①骰子出现1点时,不翻动硬币;②出现2,3,4,5点时,翻动一下硬币,使另一面朝上;③出现6点时,如果硬币正面朝上,则不翻动硬币;否则,翻动硬币,使正面朝上.按以上规则,在骰子掷了n次后,硬币仍然正面朝上的概率记为Pn
(Ⅰ)求证:∀n∈N*,点(Pn,Pn+1)恒在过定点(
5
9
5
9
),斜率为-
1
2
的直线上;
(Ⅱ)求数列{Pn}的通项公式Pn
(Ⅲ)用记号Sn→m表示数列{Pn-
5
9
}从第n项到第m项之和,那么对于任意给定的正整数k,求数列S1→k,Sk+1→2k,…,S(n-1)k+1→nk,…的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:湛江二模

答案

(Ⅰ)证明:设把骰子掷了n+1次,硬币仍然正面朝上的概率为Pn+1,此时有两种情况:
①第n次硬币正面朝上,其概率为Pn,且第n+1次骰子出现1点或6点,硬币不动,其概率为class="stub"2
6
=class="stub"1
3

因此,此种情况下产生硬币正面朝上的概率为class="stub"1
3
Pn
.…(3分)
②第n次硬币反面朝上,其概率为1-Pn,且第n+1次骰子出现2,3,4,5点或6点,其概率为class="stub"5
6

因此,此种情况下产生硬币正面朝上的概率为class="stub"5
6
(1-Pn)

Pn+1=class="stub"1
3
Pn+class="stub"5
6
(1-Pn)
,变形得 Pn+1-class="stub"5
9
=-class="stub"1
2
Pn-class="stub"5
9
 )

∴点(Pn,Pn+1)恒在过定点(class="stub"5
9
class="stub"5
9
),斜率为-class="stub"1
2
的直线上.…(6分)
(Ⅱ)P0=1,P1=class="stub"1
3
P0+class="stub"5
6
(1-P0)=class="stub"1
3

又由(Ⅰ)知:
Pn+1-class="stub"5
9
Pn-class="stub"5
9
=-class="stub"1
2

∴{Pn-class="stub"5
9
}是首项为P1-class="stub"5
9
=class="stub"1
3
-class="stub"5
9
=-class="stub"2
9
,公比为-class="stub"1
2
的等比数列,…(8分)
Pn-class="stub"5
9
=-class="stub"2
9
•(-class="stub"1
2
)n-1

故所求通项公式为Pn=class="stub"5
9
+
(-1)n
9•2n-2
.…(10分)
(Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知{Pn-class="stub"5
9
}是首项为a1=P1-class="stub"5
9
=-class="stub"2
9
,公比为q=-class="stub"1
2
的等比数列,又
Snk+1→(n+1)k
S(n-1)k+1→nk
=
a1qnk(1+q+…+qk-1)
a1q(n-1)k(1+q+…+qk-1)
=qk
(k∈N*)是常数,
∴S1→k,Sk+1→2k,…,S(n-1)k+1→nk,…,也成等比数列,…(12分)
S1→k=
-class="stub"2
9
[1-(-class="stub"1
2
)
k
]
1+class="stub"1
2
=-class="stub"4
27
[1-(-class="stub"1
2
)k]

从而 Tn=
S1→k(1-qkn)
1-qk
=
-class="stub"4
27
[1-(-class="stub"1
2
)
k
]•[1-(-class="stub"1
2
)
kn
]
1-(-class="stub"1
2
)
k
=-class="stub"4
27
[1-(-class="stub"1
2
)kn]
.…(14分)
解法二:Tn=S1→k+Sk+1→2k+…+S(n-1)k+1→nk=a1+a2+…+ank=
-class="stub"2
9
[1-(-class="stub"1
2
)
nk
]
1+class="stub"1
2
=-class="stub"4
27
[1-(-class="stub"1
2
)nk]
.…(14分)

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