首页 > 已知数列{an}满足a1=1，点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(13)n-1+(13)n-2+…+13+1，n∈N*．（Ⅰ）

已知数列{an}满足a1=1，点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(13)n-1+(13)n-2+…+13+1，n∈N*．（Ⅰ）

题目简介

已知数列{an}满足a1=1，点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(13)n-1+(13)n-2+…+13+1，n∈N*．（Ⅰ）

题目详情

已知数列{an}满足a1=1，点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
1
3
)n-1+(
1
3
)n-2+…+
1
3
+1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=-anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，所以an+1-an=1．
则数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以an=n．
由nb1+(n-1)b2++2bn-1+bn=(class="stub"1
3
)n-1+(class="stub"1
3
)n-2++class="stub"1
3
+1，
则（n-1）b1+（n-2）b2++bn-1=(class="stub"1
3
)n-2++class="stub"1
3
+1，（n≥2）
两式相减得：b 1+b2++bn=(class="stub"1
3
)n-1，n≥2．
即数列{bn}的前n项和Sn=(class="stub"1
3
)n-1，n≥2．
当n=1时，b1=S1=1，所以Sn=(class="stub"1
3
)n-1．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(class="stub"1
3
)n-1-(class="stub"1
3
)n-2=-class="stub"2
3
•(class="stub"1
3
)n-2．
所以bn=
1，(n=1)
-class="stub"6
3n
，(n≥2)
．（7分）

（Ⅱ）因为cn=-anbn，所以cn=
-1，(n=1)
class="stub"6n
3n
，(n≥2)
．
当n=1时，Tn=T1=-1，当n≥2时，
设Tn=-1+class="stub"6×2
32
+class="stub"6×3
33
+class="stub"6×4
34
++class="stub"6×n
3n
=-1+6(class="stub"2
32
+class="stub"3
33
+class="stub"4
34
++class="stub"n
3n
)．
令T=class="stub"2
32
+class="stub"3
33
+class="stub"4
34
++class="stub"n
3n
，则class="stub"1
3
T=class="stub"2
33
+class="stub"3
34
+class="stub"4
35
++class="stub"n-1
3n
+class="stub"n
3n+1
，
两式相减得：class="stub"2
3
T=class="stub"2
32
+class="stub"1
33
+class="stub"1
34
++class="stub"1
3n
-class="stub"n
3n+1
=class="stub"2
9
+
class="stub"1
27
(1-class="stub"1
3n-2
)
1-class="stub"1
3
-class="stub"n
3n+1
=class="stub"5
18
-class="stub"1
2
•class="stub"1
3n
-class="stub"n
3n+1
，
所以T=class="stub"5
12
-class="stub"3
4
•class="stub"1
3n
-class="stub"1
2
•class="stub"n
3n
．
因此Tn=-1+6(class="stub"2
32
+class="stub"3
33
+class="stub"4
34
++class="stub"n
3n
)=-1+6(class="stub"5
12
-class="stub"3
4
•class="stub"1
3n
-class="stub"1
2
•class="stub"n
3n
)=class="stub"3
2
-class="stub"1
2
•class="stub"9
3n
-class="stub"3n
3n
，n≥2．（13分）
又n=1时，T1=-1也满足上式，故Tn=class="stub"3
2
-class="stub"1
2
•class="stub"9
3n
-class="stub"3n
3n
．

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