在数列{an}中,a1=1,an+1=1-14an,bn=22an-1,其中n∈N*.(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;(2)设cn=2n+1an,数列{cncn+2

题目简介

在数列{an}中,a1=1,an+1=1-14an,bn=22an-1,其中n∈N*.(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;(2)设cn=2n+1an,数列{cncn+2

题目详情

在数列{an}中,a1=1,an+1=1-
1
4an
bn=
2
2an-1
,其中n∈N*

(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an
(2)设cn=
2
n+1
an
,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整整m,使得Tn
1
cmcm+1
对于n∈N*恒成立,若存在,求出m的最小值,若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:北海模拟

答案

(1)证明:∵bn+1-bn=class="stub"2
2an+1-1
-class="stub"2
2an-1
=class="stub"2
2(1-class="stub"1
4an
)-1
-class="stub"2
2an-1
=
4an
2an-1
-class="stub"2
2an-1
=2(n∈N*)

∴数列{bn}是等差数列(3分)
∵a1=1,∴b1=class="stub"2
2a1-1
=2

∴bn=2+(n-1)×2=2n,由bn=class="stub"2
2an-1
得,2an-1=class="stub"2
bn
=class="stub"1
n
(n∈N*)

an=class="stub"n+1
2n

(2)cn=class="stub"2
n+1
an=class="stub"1
n

cncn+2=class="stub"1
n(n+2)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)
Tn=c1c2+c2c4+c3c5+cncn+2
=class="stub"1
2
[(class="stub"1
1
-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
4
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+(class="stub"1
4
-class="stub"1
6
)++(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)]

=class="stub"1
2
(1+class="stub"1
2
-class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
)<class="stub"3
4
.(10分)
依题意要使Tn<class="stub"1
cmcm+1
对于n∈N*
恒成立,只需m(m+1)≥class="stub"3
4

解得m≤-class="stub"3
2
或m≥class="stub"1
2
.所以m的最小值为1(12分)

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