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> 在数列{an}中,a1=1,an+1=1-14an,bn=22an-1,其中n∈N*.(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;(2)设cn=2n+1an,数列{cncn+2
在数列{an}中,a1=1,an+1=1-14an,bn=22an-1,其中n∈N*.(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;(2)设cn=2n+1an,数列{cncn+2
题目简介
在数列{an}中,a1=1,an+1=1-14an,bn=22an-1,其中n∈N*.(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;(2)设cn=2n+1an,数列{cncn+2
题目详情
在数列
{
a
n
}中,
a
1
=1,
a
n+1
=1-
1
4
a
n
,
b
n
=
2
2
a
n
-1
,其中n∈
N
*
.
(1)求证:数列{b
n
}是等差数列,并求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)设
c
n
=
2
n+1
a
n
,数列{c
n
c
n+2
}的前n项和为T
n
,是否存在正整整m,使得
T
n
<
1
c
m
c
m+1
对于n∈N
*
恒成立,若存在,求出m的最小值,若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:中档
来源:北海模拟
答案
(1)证明:∵
b
n+1
-
b
n
=
class="stub"2
2
a
n+1
-1
-
class="stub"2
2
a
n
-1
=
class="stub"2
2(1-
class="stub"1
4
a
n
)-1
-
class="stub"2
2
a
n
-1
=
4
a
n
2
a
n
-1
-
class="stub"2
2
a
n
-1
=2(n∈
N
*
)
∴数列{bn}是等差数列(3分)
∵a1=1,∴
b
1
=
class="stub"2
2
a
1
-1
=2
∴bn=2+(n-1)×2=2n,由
b
n
=
class="stub"2
2
a
n
-1
得,2
a
n
-1=
class="stub"2
b
n
=
class="stub"1
n
(n∈
N
*
)
∴
a
n
=
class="stub"n+1
2n
(2)
c
n
=
class="stub"2
n+1
a
n
=
class="stub"1
n
.
c
n
c
n+2
=
class="stub"1
n(n+2)
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
n
-
class="stub"1
n+2
)
T
n
=
c
1
c
2
+
c
2
c
4
+
c
3
c
5
+
c
n
c
n+2
=
class="stub"1
2
[(
class="stub"1
1
-
class="stub"1
3
)+(
class="stub"1
2
-
class="stub"1
4
)+(
class="stub"1
3
-
class="stub"1
5
)+(
class="stub"1
4
-
class="stub"1
6
)++(
class="stub"1
n
-
class="stub"1
n+2
)]
=
class="stub"1
2
(1+
class="stub"1
2
-
class="stub"1
n+1
-
class="stub"1
n+2
)<
class="stub"3
4
.(10分)
依题意要使
T
n
<
class="stub"1
c
m
c
m+1
对于n∈
N
*
恒成立,只需
m(m+1)≥
class="stub"3
4
,
解得
m≤-
class="stub"3
2
或m≥
class="stub"1
2
.所以m的最小值为1(12分)
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在数列{an}中,a1=1,an+1=1-14an,bn=22an-1,其中n∈N*.(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;(2)设cn=2n+1an,数列{cncn+2
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(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;
(2)设cn=
答案
∴数列{bn}是等差数列(3分)
∵a1=1,∴b1=
∴bn=2+(n-1)×2=2n,由bn=
∴an=
(2)cn=
.
=
依题意要使Tn<
解得m≤-