首页 > 设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．（1）若数列首项为a1=32，公差d=1，求满足Sk2=（Sk）2的正整数k的值；（2）若Sn=n2，求通项an；（3）求所有无穷等差数列{an}，使得对于一切

设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．（1）若数列首项为a1=32，公差d=1，求满足Sk2=（Sk）2的正整数k的值；（2）若Sn=n2，求通项an；（3）求所有无穷等差数列{an}，使得对于一切

题目简介

设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．（1）若数列首项为a1=32，公差d=1，求满足Sk2=（Sk）2的正整数k的值；（2）若Sn=n2，求通项an；（3）求所有无穷等差数列{an}，使得对于一切

题目详情

设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．
（1）若数列首项为a1=
3
2
，公差d=1，求满足Sk2=（Sk）2的正整数k的值；
（2）若Sn=n2，求通项an；
（3）求所有无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2=（Sk）2成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当 a1=class="stub"3
2
，d=1时，Sn=na1+
n(n-1)
2
d=class="stub"3
2
n+
n(n-1)
2
=class="stub"1
2
n2+n
∴class="stub"1
2
k4+k2=(class="stub"1
2
k2+k) 2
整理得k3(class="stub"1
4
k-1)=0
∴k=0或k=4
又∵k≠0，
∴k=4．
（2）当n=1时，s1=a1=1
当n≥2时，an=sn-sn-1=2n-1
a1也符合上式
∴an=2n-1
（3）设数列{an}的公差为d，则在 Sn2=(Sn)2中分别取k=1，2，由（1）得a1=0或a1=1．
当a1=0时，代入（2）得d=0或d=6，
若a1=0，d=0，则an=0，Sn=0，从而Sk=（Sk）2成立
若a1=0，d=6，则an=6（n-1），由S3=18，（S3）2=324，Sn=216知s9≠（S3）2，故所得数列不符合题意．
当a1=1时，代入（2）得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2
若a1=1，d=0，则an=1，Sn=n，从而 Sk2=(Sk)2成立；
若a1=1，d=2，则an=2n-1，Sn=1+3+…+（2n-1）=n2，从而S=（Sn）2成立
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
∴an=0，an=1，an=2n-1．

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