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已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an}的前n项之和Sn，求Sn，并证明：Sn2n＞2n-3．-数学

题目简介

已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an}的前n项之和Sn，求Sn，并证明：Sn2n＞2n-3．-数学

题目详情

已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项之和Sn，求Sn，并证明：
Sn
2n
＞2n-3．
题型：解答题难度：中档来源：浙江模拟

答案

（Ⅰ）∵an=2an-1+2n（n≥2，且n∈N*），
∴
an
2n
=
an-1
2n-1
+1，即
an
2n
-
an-1
2n-1
=1（n≥2，且n∈N*），…（3分）
所以，数列{
an
2n
}是等差数列，公差d=1，首项class="stub"1
2
，…（5分）
于是
an
2n
=class="stub"1
2
+(n-1)d=class="stub"1
2
+(n-1)•1=n-class="stub"1
2
，
∴an=(n-class="stub"1
2
)•2n．…（7分）
（Ⅱ）∵Sn=class="stub"1
2
•2+class="stub"3
2
•22+class="stub"5
2
•23+…+（n-class="stub"1
2
）•2n，①
∴2Sn=class="stub"1
2
•22+class="stub"3
2
•23+class="stub"5
2
•24+…+(n-class="stub"1
2
)•2n+1，②…（9分）
①-②，得-Sn=1+22+23+…+2n-(n-class="stub"1
2
)•2n+1
=2+22+23+…+2n-(n-class="stub"1
2
)•2n+1-1
=
2(1-2n)
1-2
-(n-class="stub"1
2
)•2n+1-1
=（3-2n）•2n-3，…（12分）
∴Sn=(2n-3)•2n+3＞（2n-3）•2n，
∴
Sn
2n
＞2n-3．…（14分）

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