首页 > 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，Sn=nan+2-n(n-1)2，(n≥2，n∈N*)．（I）求数列{an}的通项公式；（II）已知bn＞an，（n≥2，n∈N*），求证：（1+1b2b

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，Sn=nan+2-n(n-1)2，(n≥2，n∈N*)．（I）求数列{an}的通项公式；（II）已知bn＞an，（n≥2，n∈N*），求证：（1+1b2b

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，Sn=nan+2-n(n-1)2，(n≥2，n∈N*)．（I）求数列{an}的通项公式；（II）已知bn＞an，（n≥2，n∈N*），求证：（1+1b2b

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，Sn=nan+2-
n(n-1)
2
，(n≥2，n∈N*)．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II） 已知bn＞an，（n≥2，n∈N*），求证：（1+
1
b2b3
）（1+
1
b3b4
）（1+
1
b4b5
）…（1+
1
bnbn+1
）＜
3e
．
题型：解答题难度：中档来源：广州一模

答案

（I）当n≥3时，由sn=nan+2-
n(n-1)
2
，
Sn-1=（n-1）an-1+2-
(n-1)(n-2)
2
，
可得an=nan-(n-1)an-1-class="stub"n-1
2
×2，
故an-an-1=1（n≥3，n∈N+）．
所以an=
4     n=1
n+1      n≥2

（II）设f（x）=ln（1+x）-x，则f'（x）=class="stub"1
1+x
-1=class="stub"-x
1+x
＜0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x
∵n≥2时，class="stub"1
bn
＜class="stub"1
an
=class="stub"1
n+1
，ln（1+class="stub"1
bn•bn+1
）＜class="stub"1
bn•bn+1
＜class="stub"1
(n+1)(n+2)
=class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
，
∴ln（1+class="stub"1
b2•b3
）+ln（1+class="stub"1
b3• b4
）+…+ln（1+class="stub"1
bn•bn+1
）＜class="stub"1
3
-class="stub"1
4
+class="stub"1
4
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
=class="stub"1
3
-class="stub"1
n+2
＜class="stub"1
3
．
∴（1+class="stub"1
b2b3
）（1+class="stub"1
b3b4
）（1+class="stub"1
b4b5
）…（1+class="stub"1
bnbn+1
）＜
3e
．

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