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已知函数f（x）=a•2x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，Sn），其中Sn为数列{an}的前n项和，n∈N*．（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；（Ⅱ）若{cn}中，cn=n（

题目简介

已知函数f（x）=a•2x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，Sn），其中Sn为数列{an}的前n项和，n∈N*．（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；（Ⅱ）若{cn}中，cn=n（

题目详情

已知函数f（x）=a•2x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，Sn），其中Sn为数列{an}的前n项和，n∈N*．
（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；
（Ⅱ）若{cn}中，cn=n（6an-1），求数列{cn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）试比较（Ⅱ）中的Tn与
23n2-13n
2
的大小并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：安徽模拟

答案

（本小题14分）
（Ⅰ）由f（x）=a•2x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点⇒
2a+b=1
4a+b=3
⇒
a=1
b=-1
，
∴f（x）=2x-1，
又C（n，Sn）在f（x）的图象上⇒Sn=2n-1，
当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
cn=3n•2n-n⇒Tn=3(1•21+2•22+…+n•2n)-(1+2+3+…+n)，
令Pn=1•21+2•22+…+n•2n，
由错位相减法可求得Pn=(n-1)2n+1+2，
又1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
，
故Tn=3Pn-
n(n+1)
2
=3(n-1)2n+1+6-
n(n+1)
2
．
（Ⅲ）由Tn-
23n2-13n
2
=3(n-1)2n+1+6-
n(n+1)
2
-
23n2-13n
2
=6(n-1)[2n-(2n+1)]
当n=1时，6（n-1）[2n-（2n+1）]=0，Tn=
23n2-13n
2

当n=2时，6（n-1）[2n-（2n+1）]=-6，Tn＜
23n2-13n
2

当n=3时，6（n-1）[2n-（2n+1）]=12，Tn＞
23n2-13n
2

下证n≥3时，Tn＞
23n2-13n
2
，
即证n≥3时，2n＞2n+1，
∵n≥3时，2n=(1+1)n=
C0n
+
C1n
+
C2n
+…+
Cn-1n
+
Cnn
≥
C0n
+
C1n
+…+
Cn-1n
+
Cnn
=2n+2＞2n+1成立，
∴n≥3时，Tn＞
23n2-13n
2
成立，
综上所述：n=1时，Tn=
23n2-13n
2
；
n=2时，Tn＜
23n2-13n
2
；
n≥3时，Tn＞
23n2-13n
2
．

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