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已知数列{an}的前n项和为Sn=3n，数列{bn}满足b1=-1，bn-1=bn+（2n-1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式bn；（Ⅲ）若cn=an

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn=3n，数列{bn}满足b1=-1，bn-1=bn+（2n-1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式bn；（Ⅲ）若cn=an

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn=3n，数列{bn}满足b1=-1，bn-1=bn+（2n-1）（ n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式bn；
（Ⅲ）若cn=
an•bn
n
，求数列{cn}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵Sn=3n，
∴Sn-1=3n-1（n≥2）．
∴an=Sn-sn=3n-3n-1=2•3n-1（n≥2）．
当n=1时，2•30=2≠S1=3，
∴an=
3，n=1
2•3n-1，n≥
2       （4分）
（Ⅱ）∵bn+1=bn+（2n-1）
∴b2-b1=1，
b3-b2=3，
b4-b3=5，
…
bn-bn-1=2n-3，
以上各式相加得
bn-b1=1+3+5+…+（2n-3）=
(n-1)(2n-2)
2
=（n-1）2
∵b1=-1，∴bn=n2-2n．     （9分）
（Ⅲ）由题意得Cn=
-3，n=1
2(n-2)•
3n-1，(n≥2)
当n≥2时，
Tn=-3+2•0×3+2•1×32+…+2（n-2）×3n-13Tn=-9+2•0×32+2•1×33+2•2×34+…+2（n-2）×3n
相减得：-2Tn=（n-2）×3n-（3+32+33+…+3n-1）
Tn=（n-2）×3n-（3+32+33+…+3n-1）=
(2n-5)•3n+3
2

Tn=
-3，n=1
(2n-5)•3n+3
2
，n≥2
=
(2n-5)•3n+3
2

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