首页 > 已知公差不为0的等差数列{an}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}满足bn=anan+1+an+1an，求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅲ）设

已知公差不为0的等差数列{an}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}满足bn=anan+1+an+1an，求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅲ）设

题目简介

已知公差不为0的等差数列{an}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}满足bn=anan+1+an+1an，求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅲ）设

题目详情

已知公差不为0的等差数列{an}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=
an
an+1
+
an+1
an
，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）设cn=2n(
an+1
n
-λ)，若数列{cn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由题知
a23
=a1a7，设等差数列{an}的公差为d，
则(a1+2d)2=a1（a1+6d），
a1d=2d2，∵d≠0
∴a1=2d．                                                  …（1分）
又∵a2=3，
∴a1+d=3a1=2，d=1…（2分）
∴an=n+1．                                                 …（3分）
（Ⅱ）∵bn=
an
an+1
+
an+1
an
=class="stub"n+1
n+2
+class="stub"n+2
n+1
=2+class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
．            …（4分）
∴Sn=b1+b2+…+bn=（2+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
）+（2+class="stub"1
3
-class="stub"1
4
）+…+（2+class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
）=2n+class="stub"n
2(n+2)
．                          …（6分）
（ III）cn=2n（
an+1
n
-λ）=2n（class="stub"n+2
n
-λ），使数列{cn}是单调递减数列，
则cn+1-cn=2n（
2(n+3)
n+1
-class="stub"n+2
n
-λ）＜0对n∈N*都成立    …（7分）
即
2(n+3)
n+1
-class="stub"n+2
n
-λ＜0⇒λ＞(
2(n+3)
n+1
-class="stub"n+2
n
)max…（8分）
设f（n）=
2(n+3)
n+1
-class="stub"n+2
n
，
f（n+1）-f（n）=
2(n+4)
n+2
-class="stub"n+3
n+1
-
2(n+3)
n+1
+class="stub"n+2
n

=
2(n+4)
n+2
+class="stub"n+2
n
-
3(n+3)
n+1

=2+class="stub"4
n+2
+1+class="stub"2
n
-3-class="stub"6
n+1

=
2(2-n)
n(n+1)(n+2)
…（9分）
∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…
当n=2或n=3时，f（n）max=class="stub"4
3
，
∴(
2(n+3)
n+1
-class="stub"n+2
n
)max=class="stub"4
3

所以λ＞class="stub"4
3
．               …（10分）

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