已知OM=(cosα,sinα),ON=(cosx,sinx),PQ=(cosx,-sinx+45cosα)(1)当cosα=45sinx时,求函数y=ON•PQ的最小正周期;(2)当OM•ON=12

题目简介

已知OM=(cosα,sinα),ON=(cosx,sinx),PQ=(cosx,-sinx+45cosα)(1)当cosα=45sinx时,求函数y=ON•PQ的最小正周期;(2)当OM•ON=12

题目详情

已知
OM
=(cosα,sinα),
ON
=(cosx,sinx),
PQ
=(cosx,-sinx+
4
5cosα
)

(1)当cosα=
4
5sinx
时,求函数y=
ON
PQ
的最小正周期;
(2)当
OM
ON
=
12
13
OM
PQ
,α-x,α+x都是锐角时,求cos2α的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵
ON
=(cosx,sinx),
PQ
=(cosx,-sinx+class="stub"4
5cosα
)

所以y=
ON
PQ
=cos2x-sin2x+class="stub"4sinx
5cosα

又∵cosα=class="stub"4
5sinx

y=cos2x-sin2x+class="stub"4sinx
5cosα
=cos2x+sin2x

=cos2x+class="stub"1-cos2x
2
=class="stub"1
2
cos2x+class="stub"1
2

所以该函数的最小正周期是π.

(2)因为
OM
=(cosα,sinα),
ON
=(cosx,sinx)

所以
OM
ON
=cosαcosx+sinαsinx=cos(α-x)=class="stub"12
13

∵α-x是锐角
sin(α-x)=
1-cos2(α-x)
=class="stub"5
13

OM
PQ

-cosαsinx+class="stub"4
5
-sinαcosx=0
,即sin(α+x)=class="stub"4
5

∵α+x是锐角
cos(α+x)=
1-sin2(α+x)
=class="stub"3
5

∴cos2α=cos[(α+x)+(α-x)]=cos(α+x)cos(α-x)-sin(α+x)sin(α-x)
=class="stub"3
5
×class="stub"12
13
-class="stub"4
5
×class="stub"5
13
=class="stub"16
65
,即cos2α=class="stub"16
65

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