设函数f(x)=3sinxcosx+cos2x+a.(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)当x∈[-π6,π3]时,函数f(x)的最大值与最小值的和为32,求a的值.-数学

题目简介

设函数f(x)=3sinxcosx+cos2x+a.(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)当x∈[-π6,π3]时,函数f(x)的最大值与最小值的和为32,求a的值.-数学

题目详情

设函数f(x)=
3
sinxcosx+cos2x+a

(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)当x∈[-
π
6
π
3
]
时,函数f(x)的最大值与最小值的和为
3
2
,求a的值.
题型:解答题难度:中档来源:南开区二模

答案

解(1)f(x)=
3
2
sin2x+class="stub"1+cos2x
2
+a=sin(2x+class="stub"π
6
)+a+class="stub"1
2
,(2分)
∴T=π.(4分)
由class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"3π
2
+2kπ,得class="stub"π
6
+kx≤x≤class="stub"2π
3
+kπ

故函数f(x)的单调递减区间是[class="stub"π
6
+kπ,class="stub"2π
3
+kπ](k∈Z)
.                 (6分)
(2)∵-class="stub"π
6
≤x≤class="stub"π
3
,∴-class="stub"π
6
≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
.∴-class="stub"1
2
≤sin(2x+class="stub"π
6
)≤1
.(8分)
x∈[-class="stub"π
6
,class="stub"π
3
]
时,原函数的最大值与最小值的和(1+a+class="stub"1
2
)+(-class="stub"1
2
+a+class="stub"1
2
)
=class="stub"3
2
,∴a=0(12分)

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