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已知m=(sinωx+cosωx，3cosωx)，n=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0，若函数f(x)=m•n，且函数f（x）的图象与直线y=2相邻两公共点间的距离为π．（Ⅰ）求ω

题目简介

已知m=(sinωx+cosωx，3cosωx)，n=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0，若函数f(x)=m•n，且函数f（x）的图象与直线y=2相邻两公共点间的距离为π．（Ⅰ）求ω

题目详情

已知
m
=(sinωx+cosωx，
3
cosωx)，
n
=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0，若函数f(x)=
m
•
n
，且函数f（x）的图象与直线y=2相邻两公共点间的距离为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C、的对边，且a=
3
，b+c=3，f（A）=1，求△ABC的面积．
题型：解答题难度：中档来源：三亚模拟

答案

（Ⅰ）f(x)=
m
•
n
=(sinωx+cosωx，
3
cosωx)（cosωx-sinωx，2sinωx）
=cos2ωx-sin2ωx+2
3
sinωxcosωx=cos2ωx+
3
sin2ωx=2sin(2ωx+class="stub"π
6
)
∵ω＞0
∴函数f（x）的周期T=class="stub"2π
2ω
=class="stub"π
ω

∵函数f（x）的图象与直线y=2相邻两公共点间的距离为π．
∴class="stub"π
ω
=π∴ω=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω=1，f(x)=2sin(2x+class="stub"π
6
)
∵f（A）=1
∴2sin(2A+class="stub"π
6
)=1
∴sin(2A+class="stub"π
6
)=class="stub"1
2

∵0＜A＜π∴class="stub"π
6
＜2A+class="stub"π
6
＜class="stub"13π
6

∴2A+class="stub"π
6
=class="stub"5π
6
⇒A=class="stub"π
3

由余弦定理知cosA=
b2+c2-a2
2bc

∴b2+c2-bc=3又b+c=3联立解得
b=2
c=1
或
b=1
c=2

∴S△ABC=class="stub"1
2
bcsinA=
3
2

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