首页 > 已知向量a=（3sinωx，cosωx），b=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函数f(x)=a•b+12的图象的两相邻对称轴间的距离为π4．（1）求ω值；（2）若x∈(724π，512π)时

已知向量a=（3sinωx，cosωx），b=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函数f(x)=a•b+12的图象的两相邻对称轴间的距离为π4．（1）求ω值；（2）若x∈(724π，512π)时

题目简介

已知向量a=（3sinωx，cosωx），b=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函数f(x)=a•b+12的图象的两相邻对称轴间的距离为π4．（1）求ω值；（2）若x∈(724π，512π)时

题目详情

已知向量a=（
3
sinωx，cosωx），b=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函数f(x)=a•b+
1
2
的图象的两相邻对称轴间的距离为
π
4
．
（1）求ω值；
（2）若x∈(
7
24
π，
5
12
π)时，f(x)=-
3
5
，求cos4x的值；
（3）若cosx≥
1
2
，x∈（0，π），且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．
题型：解答题难度：中档来源：盐城一模

答案

由题意，f(x)=
3
sinωx•cosωx-cos2ωx+class="stub"1
2

=
3
2
sin2ωx-class="stub"1+cos2ωx
2
+class="stub"1
2

=
3
2
sin2ωx-class="stub"1
2
cos2ωx=sin(2ωx-class="stub"π
6
)，
（1）∵两相邻对称轴间的距离为class="stub"π
4
，
∴T=class="stub"2π
2ω
=class="stub"π
2
，
∴ω=2．

（2）由（1）得，f(x)=sin(4x-class="stub"π
6
)=-class="stub"3
5
，
∵x∈(class="stub"7
24π
，class="stub"5
12
)，
∴4x-class="stub"π
6
∈(π，class="stub"3
2
π)，
∴cos(4x-class="stub"π
6
)=-class="stub"4
5
，
∴cos4x=cos(4x-class="stub"π
6
+class="stub"π
6
)=cos(4x-class="stub"π
6
)cosclass="stub"π
6
-sin(4x-class="stub"π
6
)sinclass="stub"π
6

=(-class="stub"4
5
)×
3
2
-(-class="stub"3
5
)×class="stub"1
2
=-
2
3
5
+class="stub"3
10
．

（3）∵cosx≥class="stub"1
2
，且余弦函数在（0，π）上是减函数，
∴x∈(0，class="stub"π
3
]，
令f(x)=
a
•
b
+class="stub"1
2
=sin(4x-class="stub"π
6
)，g（x）=m，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象，
可知m=1或m=-class="stub"1
2
．

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