首页 > 已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)．（1）求函数f（x）的最小正周期及在[0，π2]上的单调递增区间；（2）若f（x0）=65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值

已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)．（1）求函数f（x）的最小正周期及在[0，π2]上的单调递增区间；（2）若f（x0）=65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值

题目简介

已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)．（1）求函数f（x）的最小正周期及在[0，π2]上的单调递增区间；（2）若f（x0）=65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值

题目详情

已知函数f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在[0，
π
2
]上的单调递增区间；
（2）若f（x0）=
6
5
，x0∈[
π
4
，
π
2
]，求cos2x0的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由数f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1，得
f（x）=
3
sin2x+cos2x=2sin（2x+class="stub"π
6
），
所以函数f（x）的最小正周期为π；
∵2kπ-class="stub"π
2
＜2x+class="stub"π
6
＜2kπ+class="stub"π
2
，k∈Z
∴x∈（kπ-class="stub"π
3
，kπ+class="stub"π
6
），k∈Z
又x∈[0，class="stub"π
2
]，f（x）=2sin（2x+class="stub"π
6
）在[0，class="stub"π
2
]上的单调递增区间为（0，class="stub"π
6
）；
（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+class="stub"π
6
），
∵f（x0）=class="stub"6
5
，
∴sin（2x0+class="stub"π
6
）=class="stub"3
5
，
由x0∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]，得2x0+class="stub"π
6
∈[class="stub"2π
3
，class="stub"7π
6
]．
从而cos（2x0+class="stub"π
6
）=-
1-sin2(2x0+class="stub"π
6
)
=-class="stub"4
5

∴cos2x0=cos[（2x0+class="stub"π
6
）-class="stub"π
6
]
=cos（2x0+class="stub"π
6
）cosclass="stub"π
6
+sin（2x0+class="stub"π
6
）sinclass="stub"π
6

=
3-4
3
10
．

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