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已知函数f（x）=2sin2（π4+x）-3cos2x，（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[π4，π2]上恒成立，求实数m

题目简介

已知函数f（x）=2sin2（π4+x）-3cos2x，（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[π4，π2]上恒成立，求实数m

题目详情

已知函数f（x）=2sin2（
π
4
+x）-
3
cos2x，
（1）写出函数f（x）的最小正周期；      
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[
π
4
，
π
2
]上恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）=2sin2（class="stub"π
4
+x）-
3
cos2x=[1-cos（class="stub"π
2
+2x）]-
3
cos2x=1+sin2x-
3
cos2x=2sin（2x-class="stub"π
3
）+1
∴函数f（x）的最小正周期T=π
（2）2x-class="stub"π
3
∈[2kπ+class="stub"π
2
，2kπ+class="stub"3π
2
]，k∈Z 
解得：x∈[kπ+class="stub"5π
12
，kπ+class="stub"11π
12
]，k∈Z 
函数f（x）的单调递减区间[kπ+class="stub"5π
12
，kπ+class="stub"11π
12
]，k∈Z
（3）∵x∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]
∴class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
3
≤class="stub"2π
3
，即2≤sin（2x-class="stub"π
3
）+1≤3，
∴f（x）max=3  f（x）min=2．
∵|f（x）-m|＜2⇔f（x）-2＜m＜f（x）+2
∴m＞f（x）max-2且m＜f（x）min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．

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