首页 > 已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；

已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；

题目简介

已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；

题目详情

已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；
（3）设函数g(x)=
f′(x)，f(x)≥f′(x)
f(x)，f(x)＜f′(x)
，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：江苏三模

答案

（1）因为f（x）≤f'（x），所以x2-2x+1≤2a（1-x），
又因为-2≤x≤-1，所以a≥
x2-2x+1
2(1-x)
在x∈[-2，-1]时恒成立，
因为
x2-2x+1
2(1-x)
=class="stub"1-x
2
≤class="stub"3
2
，所以a≥class="stub"3
2
．…（4分）
（2）因为f（x）=|f'（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，
所以（x+a）2-2|x+a|+1-a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a． …（7分）
①当a＜-1时，|x+a|=1-a，所以a＞b＞c或x=1-2a；
②当-1≤a≤1时，|x+a|=1-a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1-2a或x=-（1+2a）；
③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=-（1+2a）．…（10分）
（3）因为f（x）-f'（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，g(x)=
f′(x)，f(x)≥f′(x)
f(x)，f(x)＜f′(x)

①若a≥-class="stub"1
2
，则x∈[2，4]时，f（x）≥f'（x），所以g（x）=f'（x）=2x+2a，
从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；            …（12分）
②若a＜-class="stub"3
2
，则x∈[2，4]时，f（x）＜f'（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，
当-2≤a＜-class="stub"3
2
时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，
当-4＜a＜-2时，g（x）的最小值为g（-a）=1-a2，
当a≤-4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．…（14分）
③若-class="stub"3
2
≤a＜-class="stub"1
2
，则x∈[2，4]时，g(x)=
x2+2ax+1，x∈[2，1-2a)
2x+2a，x∈[1-2a，4]

当x∈[2，1-2a）时，g（x）最小值为g（2）=4a+5；
当x∈[1-2a，4]时，g（x）最小值为g（1-2a）=2-2a．
因为-class="stub"3
2
≤a＜-class="stub"1
2
，（4a+5）-（2-2a）=6a+3＜0，
所以g（x）最小值为4a+5．
综上所述，[g(x)]min=
8a+17，a≤-4
1-a2，-4＜a＜-2
4a+5，-2≤a＜-class="stub"1
2
2a+4，a≥-class="stub"1
2
…（16分）

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